Question

如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…记正方形ABCD的边为a₁=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a₂、a₃、a₄、…a_n，根据以上规律写出

a

2 n

的表达式

2^n-1

．

Answer 1

分析：求a₂的长即AC的长，根据直角△ABC中AB²+BC²=AC²可以计算，同理计算a₃、a₄．由求出的a₂=

2

a₁，a₃=

2

a₂…，a_n=

2

，a_n-1=（

2

）^n-1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．

解答：解：∵a₂=AC，且在直角△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴a₂=

2

a₁=

2

，
同理a₃=

2

a₂=2，
a₄=

2

a₃=2

2

，
…
由此可知：a_n=（

2

）^n-1，则

a

2 n

=2^n-1．
故答案为：2^n-1．

点评：本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a_n的规律是解题的关键．