Question

（2012•龙川县二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k＞0，b＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=

m

x

相交于C、D两点，且点D的坐标为（1，5），C点的坐标为（p，q），作CE⊥x轴于E，作DF⊥y轴于F，连接EF．
（1）请直接写出m的值：

5

．
（2）判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等，并说明理由；
（3）若AB=

2

3

CD时，则AB与OA有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把点D（1，5）代入双曲线y=

m

x

即可求出m的值；
（2）根据比例函数的性质可求出△EFC的面积和△EFD，故可得出结论；
（3）先根据（2）中的结论判断出四边形ECBF、EADF均为平行四边形，故可得出AE=DF，CE=BF，由全等三角形的判定定理得出△BDF≌△CAE，故BD=AC，由于AB=

2

3

CD可得出BD=

1

6

CD，再由相似三角形的判定定理得出△BDF∽△CAE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答：解：（1）∵点D（1，5）在双曲线y=

m

x

上，
∴5=

m

1

，
解得m=5．
故答案为：5；

（2）∵C、D两点在反比例函数y=

5

x

的图象上，
∴pq=5，
∴S_△EFC=

1

2

（-p）（-q）=

1

2

pq=

5

2

，
∵D（1，5），
∴S_△EFD=

1

2

×1×5=

5

2

，
∴△EFC的面积和△EFD的面积相等；

（3）∵△EFC的面积和△EFD的面积相等，
∴EF∥CD，
∵CE∥BF，AE∥DF，
∴四边形ECBF、EADF均为平行四边形，
∴AE=DF，CE=BF，
在△BDF与△CAE中，
∵

AE=DF ∠AEC=∠DFB=90° CE=BF

，
∴△BDF≌△CAE，
∴BD=AC，
∵AB=

2

3

CD，
∴BD=

1

6

CD，
∵DF∥AE，
∴△BDF∽△CAE，
∴

DF

OA

=

BD

AC

，

1

OA

=

1 6 CD

2 3 CD

，
解得OA=4，
∴

BF

OB

=

1

4

，
∵BF+OB=5，
∴OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴

OA

AB

=cos45°=

2

2

．

点评：本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积、相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强．