Question

已知关于x的一元二次方程ax²+x+2=0
（1）求证：当a＜0时，方程ax²+x+2=0一定有两个不等的实数根；
（2）若代数式-x²+x+2的值为正整数，且x为整数时，求x的值；
（3）当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）；若点M在点N的左边，试比较a₁与a₂的大小．

Answer 1

解：（1）△=1-8a
∵a＜0，
∴-8a＞0即：△＞0
∴方程ax²+x+2=0一定有两个不等的实数根．

（2）：原式=-（x²-x-2），
=-+
∵不论x为何值，-（x-）²≤0，
∴原式=-（x-）²+≤，
∵代数式-x²+x+2的值为正整数，
∴代数式-x²+x+2的值为1，2，
当-x²+x+2=1时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；
当-x²+x+2=2时，x=0或1，
答：x的值是0或1．

（3）解：∵当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0），
∴0=a₁m²+m+2①，
∵当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0），
∴0=a₂n²+n+2②，
∴，，
∴=，

∵点M在点N的左边，且M、N均在x轴正半轴，
∴m＞0，n＞0，m＜n，
∴mn+2m+2n＞0，m-n＜0，m²n²＞0，
∴a₁-a₂=，
∴a₁＜a₂．
分析：（1）求出b²-4ac的值，根据正负即可判断；
（2）求出原式=-（x²-x-2）的范围确定其整数，得出1，2，算出-x²+x+2=1和-x²+x+2=2的解即可；
（3）把a=a₁，a=a₁代入求出其值，求出a₁-a₂的值即可．
点评：本题主要考查对抛物线与X轴的交点，解一元二次方程，根的判别式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．