Question

【题目】已知△ABC的边AB是⊙O的弦．

（1）如图1，若AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，且DM⊥AC于M，请判断直线DM与⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）如图2，AC交⊙O于点E，若E恰好是的中点，点E到AB的距离是8，且AB长为24，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）DM是⊙O的切线，证明见解析；（2）13．

【解析】（1）根据圆与等腰三角形的性质得出∠ODB=∠C，从而得到OD∥AC，再利用平行线的性质和切线的判定定理即可证明；

（2）利用垂径定理及勾股定理即可求解.

证明：（1）连接OD．

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DM⊥AC，

∴DM⊥OD，

∴DM是⊙O的切线．

（2）连接OA、连接OE交AB于点H，

∵E 是中点，AB=24，

∴OE⊥AB，AH=AB=12，

连接OA，设OA=x，

∵EH=8，可得OH=x﹣8，

在Rt△OAH中，根据勾股定理可得（x﹣8）2+122=x2，

解得x=13，

∴⊙O的半径为13．