Question

11．己知关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若这个方程有实数解，求k的取值范围；
（2）若这个方程的解是直线y=3x+1与x轴的交点的横坐标．是否存在k使反比例函数y=$\frac{3k+2}{3x}$的图象在第2、4象限？如果存在求出k，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得出△=[-2（k-3）]²-4×1×（k²-4k-1）≥0，解不等式即可；
（2）先求出直线y=3x+1与x轴的交点坐标为-$\frac{1}{3}$，再代入一元二次方程得出关于k的方程，解方程求出k的值，然后代入反比例函数检验即可．

解答 解：（1）根据题意得：△=[-2（k-3）]²-4×1×（k²-4k-1）≥0，
整理得：-2k+10≥0，
解得：k≤5．
即若这个方程有实数解，k的取值范围为k≤5；
（2）存在；理由如下：
∵直线y=3x+1，当y=0时，3x+1=0，
解得：x=-$\frac{1}{3}$，
∴直线y=3x+1与x轴的交点坐标为-$\frac{1}{3}$，
∴（-$\frac{1}{3}$^）2-2（k-3）×（-$\frac{1}{3}$）+k²-4k-1=0．
整理得：9k²-30k-26=0，
解得：k=$\frac{5+\sqrt{51}}{3}$，或k=$\frac{5-\sqrt{51}}{3}$，
当k=$\frac{5+\sqrt{51}}{3}$时，3k+2=3×$\frac{5+\sqrt{51}}{3}$+2=7+$\sqrt{51}$＞0，
此时不符合题意；
当k=$\frac{5-\sqrt{51}}{3}$时，3k+2=3×$\frac{5-\sqrt{51}}{3}$+2=7-$\sqrt{51}$＜0，
此时符合题意；
∴当k=$\frac{5-\sqrt{51}}{3}$时，反比例函数y=$\frac{3k+2}{3x}$的图象在第2、4象限．

点评 此题主要考查了一元二次方程跟的判别式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质；熟练掌握一元二次方程跟的判别式，求出直线与x轴的交点横坐标得出关于k的方程是解决问题（2）的关键．