Question

（2012•衢州二模）在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接AB并延长AB至点D，使DB=AB，连接OB、DC相交于E，过E作OA的垂线，垂足为F，连接AE．
（1）如图，当∠AOB=15°时，①求弧AB的长； ②求△OAB的面积；
（2）在点B运动过程中，
①若以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，请求出此时点F的坐标；
②若以点E、C、F为顶点的三角形与△ABE相似，请直接写出此时点F的坐标．

Answer 1

分析：（1）①如图，连接BC，根据圆周角定理得∠ACB=2∠AOB=30°，然后根据弧长公式计算弧AB的长；
②作BP⊥OA于P，根据圆周角定理得∠OBA=90°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BP=

5

2

，然后根据三角形面积公式求解；
（2）连结OD，由AB=BD，AB⊥OB，根据等腰三角形的判定方法得到△ODA为等腰三角形，则CB=

1

2

OD，CB∥OD，根据相似三角形的判定得△BCE∽△ODE，利用相似比得BE：OE=CE：DE=1：2，
①当Rt△ECF∽Rt△AOB时有∠AOB=∠ECF，则EO=EC，所以OF=

1

2

OC=

5

2

，得到F点坐标为（

5

2

，0）；当Rt△ECF∽Rt△OAB，作DH⊥OA，易得∠BAO=∠FCE，则DC=DA，得到CH=

5

2

，利用EF∥DH得到CF：CH=CE：CD=1：3，可计算出CF=

5

6

，所以OF=

35

6

，于是得到F点坐标为（

35

6

，0）；
②当Rt△ECF∽Rt△AEB，连结BF，由∠EFA=∠EBA=90°得到点E、F、A、B共圆，根据圆周角定理得∠AEB=∠AFB，而∠AFB=∠ECF，所以CE∥BF，则OC：OF=OE：OB=2：3，可计算出OF=

15

2

，得到F点坐标为（

15

2

，0）；当Rt△ECF∽Rt△EAB时有∠ECF=∠EAB，又由∠EBA=90°，AB=DB可判断△EAD为等腰三角形，得∠EAD=∠ADE，所以∠ADE=∠ECF，则AD=AC=5，AB=

5

2

，在Rt△OAB中利用勾股定理计算出OB=

5 15

2

，则OE=

2

3

OB=

5 15

3

，易得Rt△OEF∽Rt△OAB，利用相似比可计算出OF=

25

4

，于是得到F点坐标为（

25

4

，0）．

解答：解：（1）如图，连接BC，
∵点A（10，0），
∴OC=AC=5，
∴∠ACB=2∠AOB=30°，
①弧AB的长为：

30π×5

180

=

5

6

π；
②作BP⊥OA于P，如图，
∵OA是半圆C的直径，
∴∠OBA=90°，
∵∠ACB=30°，CB=5，
∴BP=

1

2

BC=

5

2

，
∴S_△OAB=

1

2

×

5

2

×10=

25

2

；

（2）连结OD，
∵AB=BD，AB⊥OB，
∴△ODA为等腰三角形，
∴OD=OA=10，
∴CB=

1

2

OD，CB∥OD，
∴△BCE∽△ODE，
∴BE：OE=CE：DE=BC：OD=1：2，
①当Rt△ECF∽Rt△AOB，如图，
∴∠AOB=∠ECF，
∴EO=EC，
而EF⊥OC，
∴OF=

1

2

OC=

5

2

，
∴F点坐标为（

5

2

，0）；
当Rt△ECF∽Rt△OAB，作DH⊥OA，如图，
∴∠BAO=∠FCE，
∴DC=DA，
∴CH=AH=

1

2

CA=

5

2

，
∵EF∥DH，CE：DE=1：2，
∴CF：CH=CE：CD=1：3，
∴CF=

1

3

CH=

5

6

，
∴OF=OC+CF=

35

6

，
∴F点坐标为（

35

6

，0）；
②当Rt△ECF∽Rt△AEB，连结BF，如图，
∴∠ECF=∠AEB，
∵∠EFA=∠EBA=90°，
∴点E、F、A、B共圆，
∴∠AEB=∠AFB，
∴∠AFB=∠ECF，
∴CE∥BF，
∴OC：OF=OE：OB=2：3，
∴OF=

3

2

OC=

15

2

，
∴F点坐标为（

15

2

，0）；
当Rt△ECF∽Rt△EAB，
∴∠ECF=∠EAB，
∵∠EBA=90°，AB=DB，
∴△EAD为等腰三角形，
∴∠EAD=∠ADE，
∴∠ADE=∠ECF，
∴AD=AC=5，
∴AB=

5

2

，
在Rt△OAB中，OB=

OA2-AB2

=

5 15

2

，
∴OE=

2

3

OB=

5 15

3

，
∵Rt△OEF∽Rt△OAB，
∴OF：OB=OE：OA，
∴OF=

5 15 2 × 5 15 3

10

=

25

4

，
∴F点坐标为（

25

4

，0）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的判定与性质，并且会运用勾股定理和相似比进行几何计算；同时掌握分类讨论思想的运用．