题目内容

如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A-B-C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 $数学公式$ ；
（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为 $数学公式$ ？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．

解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 $\text{[math]}$ ．
根据题意，得BP=6-2t，CQ=t，矩形的面积是12．
则有 $\text{[math]}$ （t+6-2t）×2=12× $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ；

（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 $\text{[math]}$ ．
①当0＜t≤3时，则有（6-2t-t）²+4=5，
解得t= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ；
②当3＜t≤4时，则有（8-2t）²+t²=5，
得方程5t²-32t+59=0，
此时△＜0，此方程无解．
综上所述，当t= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，点P与点Q之间的距离为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 $\text{[math]}$ ，此时点P应在AB上，才是四边形．根据路程=速度×时间，分别用t表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑．
点评：此题是一道动态题，有一定的难度，综合运用了一元二次方程的知识和勾股定理．

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