Question

如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，
（1）求的长；
（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN=60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；
（2）先求出直线M₁N₁与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．
解答：解：（1）连接OE、OF，
∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，
∴∠A=90°，∠OEA=∠OFA=90°
∴四边形AFOE是正方形
∴∠EOF=90°，OE=AE=
∴的长==π．

（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M₁N₁，切点为R，交AD于M₁，交BC于N₁，
连接OM₁、OR，
∵M₁N₁∥MN
∴∠DM₁N₁=∠DMN=60°
∴∠EM₁N₁=120°
∵MA、M₁N₁切⊙O于点E、R
∴∠EM₁O=∠EM₁N₁=60°
在Rt△EM₁O中，EM₁===1
∴DM₁=AD-AE-EM₁=+5--1=4．
过点D作DK⊥M₁N₁于K
在Rt△DM₁K中
DK=DM₁×sin∠DM₁K=4×sin∠60°=2即d=2，
∴当d=2时，直线MN与⊙O相切，
当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，
当直线MN平移到过圆心O时，记为M₂N₂，点D到M₂N₂的距离d=DK+OR=2+=3＞4，
∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．
点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．