Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于点，经过点的直线与该抛物线交于另一点，并且直线轴，点为该抛物线上一个动点，点为直线上一个动点．

（1）当，且时，连接，，求证：四边形是平行四边形

（2）当时，连接，线段与线段交于点，，且，连接，求线段的长；

（3）连接，，试探究：是否存在点，使得与互为余角?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）由二次函数的性质，先求出点A、B、C的坐标，然后得到点D的坐标，则得到与的值，把点P代入抛物线，求出m的值，由平行四边形的判定，即可得到答案；

（2）由题意，表示PQ的长度，然后求出，，再由，得到，即可得到答案；

（3）根据题意，利用三角函数得到，然后分两种情况进行分类讨论：①当点在直线上方时，；②当点在直线下方时，，

；分别求出m的值，即可得到点P的坐标．

解：如图：

（1）证明：当时，，

解得，

，

.

当时，，

.

∵直线轴，

∴直线的解析式为.

，

解得，

，

.

∵点在直线上，

.

，

，点在该抛物线上，

解得或 (舍去).

∵直线轴，

，

，

，

∴四边形是平行四边形.

（2）两点的横坐标都是，

∴直线轴，

设，则，

，

解得：或.

，

，.

∵直线轴，

，

∴，

，

，

,

，

；

（3）假设存在点，使得与互为余角，即.

，

.

，

连接.

∵直线轴，直线轴，

是直角三角形，且.

①当点在直线上方时，

(i)若点在轴左侧，则，

.

，解得 (舍去)， (舍去).

(ii)若点在轴右侧，则，

.

，解得 (舍去)，.

，

②当点在直线下方时，，

，解得 (舍去)，

，

；

综上，存在点，使得与互为余角．