Question

【题目】如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，．

（Ⅰ）若，求弧的长；

（Ⅱ）若弧弧，，求证：是的切线．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的长 =π；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得；

（Ⅱ）由=，可得∠BOC=∠AOD，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得∠ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD，由∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得 PD是⊙O的切线.

试题解析：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC= AB=2，∴的长= =π；

（Ⅱ）∵=，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD= =45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA==67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP= ∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线.