Question

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线PF交AC于点F，交AB于点E．
（1）求证：AE=AF；
（2）若PB：PA=1：2，M是上的点，AM交BC于D，且PD=DC，试确定M点在BC上的位置，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵PF平分∠APC，
∴∠1=∠2，
又∵PA是⊙O的切线，
∴∠C=∠PAB．
∵∠AEF=∠1+∠PAB，∠AFE=∠2+∠C，
∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF．

（2）解：M点在的中点上，
证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为割线，
∴PA²=PB×PC，
∵PB：PA=1：2，
假设PB=x，PA=2x，
∴4x²=x•PC，
∴PC=4x，
∵PD=DC，
∴PD=DC=2x，
∴PA=PD，
又∵∠1=∠2，
∴PN⊥AD，（等腰三角形的三线合一），
∴AN⊥EF，
∵AE=AF，
∴∠EAN=∠FAN，
∴=，
∴M点在的中点上．
分析：（1）根据∠AEF=∠APF+∠PAB；同理可得∠AFP=∠FPC+∠C；由弦切角定理知：∠PAB=∠C，由PF平分∠APC知：∠APF=∠CPF；故∠AEF=∠AFE，由此得证．
（2）根据切割线定理首先得出PD=DC=2x，进而得出PA=PD，再得出AN⊥EF，进而得出∠EAN=∠FAN，得出=，即M点在的中点上原题得证．
点评：此题主要考查了三角形外角的性质、弦切角定理、圆周角定理的推论和等腰三角形的判定和性质等知识，根据已知得出AN⊥EF是解题关键．