题目内容

如图，在直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的两个根，且x₁＜x₂，连接BC，AC．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAC的周长最小？若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M在第一象限的抛物线上，当△MBC的面积最大时，求点M的坐标．

解：（1）连接PC，
∵⊙P与y轴相切于点C
∴PC⊥y轴，
过点P作PE⊥AB于点E，

x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的两个根，
解得：x₁=2，x₂=8，
即点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（8，0），
∵PE⊥AB，
∴AE=BE，
∴AE=3，BE=3，
∴OE=5，PC=PA=5，
在Rt△APE中，PE= $\text{[math]}$ =4，
故可得点C的坐标为（0，-4），
过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8），
将点C（0，-4）代入可得：-4=a（0-2）（0-8），
解得：a=- $\text{[math]}$ ，
故抛物线解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-2）（x-8）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-4．

（2）存在．
连接BC，则BC与对称轴交点即是点Q的位置，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B、C的坐标代入可得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故直线BC的解析式为y= $\text{[math]}$ x-4，
抛物线的对称轴为x=- $\text{[math]}$ =5，
将x=5代入直线BC解析式可得：y=- $\text{[math]}$ ，
故点Q的坐标为（5，- $\text{[math]}$ ）．

（3）设平行BC且经过点M的直线解析式为y= $\text{[math]}$ x+m，
联立直线与抛物线可得： $\text{[math]}$ x+m=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-4，即- $\text{[math]}$ x²+2x-4-m=0，
△=4-4×（- $\text{[math]}$ ）×（-4-m）=0，
解得：m=0，
则- $\text{[math]}$ x²+2x-4-m=0，可化为：- $\text{[math]}$ x²+2x-4=0，
解得：x=4，
将x=4代入直线解析式可得：y=2，
故点Q的坐标为（4，2）．
分析：（1）连接PC，则PC⊥y轴，过点P作PE⊥AB于点E，分别求出A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）利用轴对称求最短路径的知识，可得连接BC，BC与对称轴的交点即是点Q的位置，求出点Q的坐标即可；
（3）经过点M且与BC平行的直线，当这条直线与抛物线相切时，点M到BC的距离最大，即此时△MBC的面积最大，求出点M的坐标即可．
点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解、垂径定理及三角形的面积，考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．