Question

【题目】如图，已知是等边三角形的外接圆，点在圆上，在的延长线上有一点，使，交于点．

（1）求证：是的切线

（2）若，求的长

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，根据平行线的性质得到∠EAC=60°，求出∠OAE＝90°，可得AE是⊙O的切线；

（2）先根据等边三角形性质得AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，由四点共圆得∠ADF＝∠ABC＝60°，得△ADF是等边三角形，然后证明△BAD≌△CAF，可得的长．

证明：（1）连接OA，

∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，

∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠BCA=60°，

∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，

∴AE是⊙O的切线；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠ADF=∠ABC=60°，

∵AD=DF，

∴△ADF是等边三角形，

∴AD=AF，∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF=6．