Question

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心半径为2画⊙O．
（1）若A的坐标为（4，0）时，过点A的直线切⊙O于点P，交y轴于点B．求线段AP的长．
（2）求出AB所在的直线解析式．
（3）如图，若P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴交与点A，与y轴交于点B．请问：在⊙O是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是一个平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图（1），连接OP．
∵AP是⊙O的切线，点P是切点，
∴∠OPA=90°．
又∵A的坐标为（4，0），⊙O的半径是2，
∴OA=4，OP=2，
∴在Rt△OPA中，AP==2；

（2）∵在Rt△OPA中，∠OPA=90°，OA=4，OP=2，
∴∠OAP=30°（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴tan∠OAP=，即=，
∴OB=．
∴直线AB的解析式为：y=tan150°x+OB=-x+；

（3）存在；
①如图（2），设四边形OAPQ为平行四边形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；
∵AB⊥OP，OB⊥OA，
∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，
∴∠POQ=90°，
∵OP=OQ（⊙O的半径），
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OB是∠POQ的平分线且是边PQ上的中垂线，
∴∠BOQ=∠BOP=45°，
∴∠AOP=45°，
设P（x，x）、Q（-x，x）（x＞0），
∵OP=2代入得=2，解得x=，
∴Q点坐标是（-，）；
②如图（3）所示，四边形OPAQ为平行四边形，
同理可得Q点坐标是（，-）．
分析：（1）连接OP．利用切线的性质推知△OPA为直角三角形，然后根据勾股定理来求AP的长度；
（2）利用直线AB的斜率和该直线在y轴上的截距来书写直线AB的解析上；
（3）此题应分两种情况：
①OP为对角线，此时OQ∥AP，由于∠OPA=90°，那么∠POQ=90°，即△POQ是等腰直角三角形，已知OA⊥OB，那么OB⊥PQ，此时OB为∠POQ的对角线，即P、Q关于y轴对称由此得解；
②OP为边，此时OP∥AQ，由于∠OPA=90°，那么平行四边形OPAQ为矩形，即∠POQ是等腰直角三角形，解法同①．
点评：此题主要考查的是圆的综合题，涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数的解析式，切线的性质以及平行四边形的判定，还涉及到相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，难度较大．