Question

【题目】在矩形中，连结，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路径运动，运动时间为（秒）. 过点作于点，在矩形的内部作正方形. （在的右侧）

（1）如图，当时，

①若点在的内部，连结、，求证：；

②当时，设正方形与的重叠部分面积为，求与的函数关系式；

（2）当时，若直线将矩形的面积分成两部分，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②；（2）或或

【解析】

（1）①如图1中，证明△AEH≌△CGH（SAS）即可解决问题．
②分两种情形分别求解：如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN．
（2）分三种情形分别求解：①如图31中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．②如图32中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．③如图33中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．

（1）①如图1中，

∵四边形是正方形，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴.

②如图1中，当时，重叠部分是正方形，.

如图2中，当时，重叠部分是五边形，

.

综上所述，.

（2）如图3-1中，延长交于，

当时，直线将矩形的面积分成两部分.

∵，

∴，

∴，

∴.

如图3-2 中，延长交于，交的延长线于，

当时，直线将矩形的面积分成两部分，易证，

∵，

∴，

∴，

∴.

如图3-3 中，当点在线段上时，延长交于，交的延长线于.

当时，直线将矩形的面积分成两部分，易证.

在中，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得.

综上所述，满足条件的的值为或或.