Question

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，M是AB的中点，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以1cm/s的速度沿AC、CB方向均速运动，到点C、B时停止运动，设运动时间为t（s），△PMQ的面积为S（cm²），则S（cm²）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由SAS证明△AMP≌△CMQ，得出△AMP的面积=△CMQ的面积，四边形CPMQ的面积=△ACM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积=4，求出△PMQ的面积=四边形CPMQ的面积-△PCQ的面积=$\frac{1}{2}$（t-2）²+2；由二次函数的图象即可得出答案．

解答 解：连接CM，如图所示：
根据题意得：AP=CQ=t，则PC=4-t，
∵∠C=90°，AC=BC=4cm，M是AB的中点，
∴∠A=∠B=∠MCQ=45°，CM=$\frac{1}{2}$AB=AM=BM，
在△AMP和△CMQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=CQ}&{\;}\\{∠A=∠MCQ}&{\;}\\{AM=CM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△CMQ（SAS），
∴△AMP的面积=△CMQ的面积，
∴四边形CPMQ的面积=△ACM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4，
∴△PMQ的面积S=四边形CPMQ的面积-△PCQ的面积=4-$\frac{1}{2}$t×（4-t）=$\frac{1}{2}$t²-2t+4=$\frac{1}{2}$（t-2）²+2；
由二次函数的图象得：选项B正确；
故选：B．

点评 此题主要考查了动点问题的函数图象、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和求出S与t的函数关系式是解决问题的关键．