Question

（2008•顺义区二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，求

DF

FC

的值．

Answer 1

分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得到AD=CD，∠ADE=∠CDE，又知DE为公共边，可以推出△ADE≌△CDE，利用全等三角形的性质得到∠DAE=∠DCE．   
（2）根据正方形的性质及CG=CE，证出CF=EF，再求出∠G=30°，判断出CF=

1

2

FG，从而得到CF=

1

3

EG．
（3）设CF=x，则EF=CF=x，FG=2CF=2x，利用△ADE≌△CDE，得到AE=CE=CG=

3

x，AF=AE+EF=(

3

+1)x，由于△ADF∽△GCF，利用相似三角形的性质求出

DF

FC

的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE．
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE．
∴∠DAE=∠DCE．   

（2）CF=

1

3

EG．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠DCB=90°
∴∠DAE=∠G．
∴∠DCE=∠G．
∵CG=CE，
∴∠1=∠G．
∴∠DCE=∠1．
∴CF=EF．
∵∠2=∠1+∠DCE=2∠1=2∠G，
又∵∠DCG=180°-∠DCB=90°，
∴∠G=30°，
∴CF=

1

2

FG．
∴CF=

1

3

EG．

（3）解：设CF=x，则EF=CF=x，FG=2CF=2x．
在Rt△CFG中，CG=

FG2-CF2

=

3

x．
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE=CG=

3

x．
∴AF=AE+EF=(

3

+1)x．
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△GCF，
∴

DF

FC

=

AF

FG

=

( 3 +1)x

2x

=

3 +1

2

．

点评：本题考查了相似三角形的性质、全等三角形的性质、正方形的性质，综合性较强，要从图中找到相关的量，注意挖掘隐含条件．