Question

如图，一次函数y=k₁x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2。
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由

Answer 1

解：（1）∵直线过A（0，-2），B（1，0）两点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D， ∵，OB=1，MD=n， ∴， 即， ∴ n=4， 将M（m，4）代入得4=2m-2， ∴m=3， ∴M（3，4）， ∵M（3，4）在双曲线上， ∴， 即， ∴反比例函数的表达式为；
（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P， ∵MD⊥BP， ∴∠PMD=∠MBD=∠ABO， ∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=， ∴在Rt△PDM中，， ∴PD=2MD=8， ∴OP=OD+PD=11， ∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）。