Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AD=4，cos∠ABF=

4

5

，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）连接BD，因AD⊥AB，所以BD是直径．证明BF⊥DB即可．
（2）作AG⊥BC于点G．由（1）中结论∠D=∠2=∠3，分别把这三个角转化到直角三角形中，根据cos∠ABF=

4

5

，求相关线段的长．

解答：证明：（1）如图，连接BD．
∵AD⊥AB，D在圆O上，
∴∠DAB=90°，
∴DB是⊙O的直径．
∴∠1+∠2+∠D=90°．
又∵AE=AF，
∴BE=BF，∠2=∠3．
∵AB=AC，
∴∠D=∠C=∠2=∠3．
∴∠1+∠2+∠3=90°．
即OB⊥BF于B．
∴直线BF是⊙O的切线．                               （4分）

（2）作AG⊥BC于点G．
∵∠D=∠2=∠3，
∴cosD=cos∠3=

4

5

．
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AD=4，cosD=

4

5

，
∴BD=

AD

cosD

=5，AB=

BD2-AD2

=3．
在Rt△ABG中，∠AGB=90°，AB=3，cos∠2=

4

5

，
∴BG=ABcos∠2=

12

5

．
∵AB=AC，
∴BC=2BG=

24

5

．                                  （8分）

点评：此题考查了切线的判定方法，运用了三角函数求线段的长，综合性较强，难度偏上．