Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD ， CB＝CD ， E是CD上一点，BE交AC于F ， 连接DF ．

（1）证明：∠BAC＝∠DAC ， ∠AFD＝∠CFE ．
（2）若AB∥CD ， 试证明四边形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

解答：证明：在△ABC和△ADC中， ，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中， ，

∴△ABF≌△ADF（SAS），

∴∠AFD＝∠AFB，

∵∠AFB＝∠CFE，

∴∠AFD＝∠CFE．

（2）

解答：证明：∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

又∵∠BAC＝∠DAC，

∴∠CAD＝∠ACD，

∴AD＝CD

∵AB＝AD，CB＝CD，

∴AB＝CB＝CD＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

【解析】（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC＝∠DAC ， 再证△ABF≌△ADF ， 可得∠AFD＝∠AFB ， 进而得到∠AFD＝∠CFE；（2）首先证明∠CAD＝∠ACD ， 再根据等角对等边可得AD＝CD ， 再有条件AB＝AD ， CB＝CD可得AB＝CB＝CD＝AD ， 可得四边形ABCD是菱形．