题目内容
【题目】已知：在正方形ABCD中，AB＝6，P为边CD上一点，过P点作PE⊥BD于点E，连接BP.
(1) 如图1，求 
的值；
(2)O为BP的中点，连接CO并延长交BD于点F.
① 如图2，连接OE，求证：OE⊥OC；
② 如图3，若
，求DP的长.
【答案】（1）
;(2)①见解析;②4.
【解析】试题分析：（1）由正方形的性质和PE⊥BD得到DP=
EP，即EP=
DP，代入原式即可得到结论；
（2）①首先得出∠POE＝2∠DBP，∠POC＝2∠CBP，从而得到∠COE＝∠POE＋∠POC＝2（∠DBP＋∠CBP）＝90°，即可得到结论；
② 连接OE、CE，把△DEC绕点C逆时针旋转90°得到△BGC，连结FG，则△BGC≌△DEC，得到EC=GC，DE=BG，∠GCB=∠ECD，∠GBC=∠EDC=45°，进而得到∠GCF=∠ECF．再证△GCF≌△ECF，得到EF=FG，在Rt△FBG中，有
，即
，由已知
，设BF＝3x，EF＝5x，则DE＝4x，得到3x＋4x＋5x＝
，解得x的值，进而得到结论．
试题解析：解：（1）∵ABCD是正方形，∴DC=AB=6，∠BDC=45°，∵PE⊥BD，∴△EPD是等腰直角三角形，∴DP=
EP，∴EP=
DP，∴EP+
CP=
DP +
CP=
（DP+CP）=
DC=
×6 =
.
（2） ① ∵∠PEB＝∠PCB＝90°，O为BP的中点，∴OE＝OB＝OP＝OC ，∴∠POE＝2∠DBP，∠POC2∠CBP，∴∠COE＝∠POE＋∠POC＝2（∠DBP＋∠CBP）＝90°，∴OE⊥OC；
② 连接OE、CE，把△DEC绕点C逆时针旋转90°得到△BGC，连结FG，则△BGC≌△DEC，∴EC=GC，DE=BG，∠GCB=∠ECD，∠GBC=∠EDC=45°．∵∠ECF=45°，∠BCD=90°，∴∠ECD+∠BFC=45°，∴∠GCF=45°，∴∠GCF=∠ECF．在△GCF和△ECF中，∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，FC=FC，∴△GCF≌△ECF，∴EF=FG．∵∠DBC=∠GBC=45°，∴∠FBG=90°，∴
，即
，∵
，设BF＝3x，EF＝5x，则DE＝4x，∴3x＋4x＋5x＝
，解得x＝
，∴DP＝
DE＝
x
．
