Question

【题目】探究与应用

（提出问题）

（1）如图1，在等边中，点是上的任意一点（不含端点、），连结，以为边作等边，连结．求证：．

（类比探究）

（2）如图2，在等边中，点是延长线上的任意一点（不含端点），其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．

（拓展延伸）

（3）如图3，在等腰中，，点是上的任意一点（不含端点、）连结，以为边作等腰，使顶角．连结．试探究与的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3），理由见解析

【解析】

（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论；

（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．

（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．

（1）证明：∵、是等边三角形，

∴，，．

∴．

∵在和中，

，

∴．

∴．

（2）结论仍成立．理由如下：

∵、是等边三角形，

∴，，．

∴．

∵在和中，

，

∴．

∴．

（3）．理由如下：

∵，顶角，

∴底角．

∴．

∴．

又∵，，

∴．

∴．

∴．