Question

【题目】在同一直角坐标系中，抛物线C1：2与抛物线C2：2关于轴对称，C2与轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）对于抛物线C2：2在第三象限部分的一点P，作PF⊥轴于F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在轴上，求P点坐标；

（3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣3，0)，B(1，0)；（2），；（3）存在满足条件的点G、Q，其坐标为G(﹣2，5)，Q(2，5)或G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)或G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)．

【解析】

（1）由对称可求得、的值，则可求得两函数的对称轴，可求得的值，则可求得两抛物线的函数表达式；由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；

（2）可判定四边形PEDE′是菱形，然后根据PE＝DE的条件，列出方程求解；

（3）由题意可知AB可能为平行四边形的边或对角线，利用平行四边形的性质，可设出G点坐标和Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得G、Q的坐标．

（1）∵C1、C2关于y轴对称，

∴C1与C2的交点一定在轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，

∴＝1，＝﹣3，

∴C1的对称轴为＝1，

∴C2的对称轴为＝，

∴＝2，

∴C1的函数表示式为2，C2的函数表达式为2；

在C2的函数表达式为2中，令＝0可得2，

解得或，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)；

（2）∵点E、E′关于直线PD对称，

∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′．

∵PE平行于y轴，∴∠EPD＝∠PDE′，

∴∠E′PD＝∠PDE′，

∴PE′＝DE′，

∴PE＝DE＝PE′＝DE′，

即四边形PEDE′是菱形．

当四边形PEDE′是菱形存在时，由直线AD解析式，∠ADO＝45°，

设P(，2)，E(，)，

∴DE＝﹣，PE＝﹣32+3＝﹣23，

∴﹣23，解得a1＝0（舍去），a2＝，

∴P()．

（3）存在．

∵AB的中点为(﹣1，0)，且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，

当AB为平行四边形的一边时，

∴GQ∥AB且GQ＝AB，

由（2）可知AB＝1(﹣3)＝4，

∴GQ＝4，

设G(t，t22t3)，则Q(t+4，t2t3)或(t4，t22t3)，

①当Q(t+4，t2+2t3)时，则t22t3＝(t+4)2+2(t+4)3，

解得t＝﹣2，

∴t22t3＝4+43＝5，

∴G(﹣2，5)，Q(2，5)；

②当Q(t4，t22t3)时，则t22t3＝(t4)2+2(t4)3，

解得t＝2，

∴t22t3＝443＝﹣3，

∴G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)，

当AB为平行四边形的对角线时，设G(m，m22m3)，Q(n，n2+2n3)，

∴

解得m＝，n＝﹣2或m＝﹣，n＝﹣2+，

∴G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)．

综上可知，存在满足条件的点G、Q，其坐标为G(﹣2，5)，Q(2，5)或G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)或G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)．