Question

【题目】如图1，，，满足：．．

（1）______；

（2）点是点左侧的轴上一点，连接，以为直角边作等腰直角，．连接，交于点；

①求．

②若平分，试求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①90°；②

【解析】

（1）根据题意得出，求出b=4．得出a+b=0．a=-4，即可得出A、B的坐标，由勾股定理可得AB的长；

（2）①过点E作EH⊥x轴于点H,由AAS证明△EHD≌△DOB，得出DH=OB=OA=4，EH=OD．证出EH=AH．得出△EHA为等腰直角三角形．由等腰直角三角形的性质得出∠EAH=45°=∠BAO．得出∠EAB=90°即可；

②延长BA、ED相交于点H，由ASA证明△BEA≌△HEA，得出HA=BA=4．得出BH=2AB=8．证出∠DEG=∠DBH．由ASA证明△EDG≌△BDH，得出EG=BH=8即可．

（1）∵，

∴

解得：b=4．

此时，

∴a+b=0．

∴a=-4，

∴A（-4，0）、B（0，4）．

∴AB=；

（2）①如图1，过点E作EH⊥x轴于点H．则∠EDH+∠DEH=90°．

∵∠EDB=90°．

∴∠EDH+∠BDO=90°．

∴∠BDO=∠DEH．

在△EHD和△DOB中，

∴△EHD≌△DOB．

∴DH=OB=OA=4，EH=OD．

而AH=DH+AD=OA+AD=OD．

∴EH=AH．

∴△EHA为等腰直角三角形．

∴∠EAH=45°=∠BAO．

∴∠EAB=90°．

②如图2，延长BA、ED相交于点Q．

∵EA平分∠BEQ．

∴∠QEA=∠BEA．

由①得：∠EAB=90°=∠EAQ．

在△BEA和△QEA中，

，

∴△BEA≌△QEA．

∴QA=BA=．

∴BQ=2AB=8．

∵∠EDG=90°=∠GAB．且∠EGD=∠BGA．

∴∠DEG=∠DBQ．

在△EDG和△BDQ中，

∴△EDG≌△BDH（ASA）．

∴EG=BH=8．