Question

15、如图，已知下方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE-BE=DF．

Answer 1

分析：延长CB到G，使GB=DF，连接AG，易证△ADF≌△ABG，得到∠1=∠G，∠3=∠2=∠4，而∠1=∠4+∠5，则∠1=∠4+∠5=∠3+∠5=∠GAE，得到∠G=∠GAE，于是AE=GE=GB+BE=DF=BE，即可得到结论．

解答：证明：延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图），
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠1=∠G，∠3=∠2=∠4，
又∵AB∥CD
∴∠1=∠4+∠5=∠3+∠5=∠GAE
∴∠G=∠GAE
∴AE=GE=GB+BE=DF+BE
所以AE-BE=DF．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．同时考查了三角形全等的判定与性质．