Question

如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G．
（1）若

BF

FC

=

1

3

，求

DG

GF

的值；
（2）连接AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（3）连接AG，若AD=2，AB=3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长．

Answer 1

分析：（1）延长CE和DA，相交于M，根据平行线分线段成比例进行计算可以求出

DG

GF

的值．（2）根据对应线段的比相等可以得到AG与DC的位置和数量关系．（3）根据两三角形相似，对应线段的比相等，求出线段BF的长．

解答：解：（1）∵BF：FC=1：3，∴设BF=k，
则FC=3k，BC=4k，∵AD：BC=1：2，∴AD=2k，
如图：延长CE交DA的延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴

AM

BC

=

AE

EB

，且

DG

GF

=

DM

CF

∵点E为边AB中点，
∴AM=BC=4k，
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴

DG

GF

=

6

3

=2．

（2）AG∥DC，且

AG

DC

=

2

3

．
证明：∵AD∥BC，
∴

MG

GC

=

DG

GF

=

2

1

，
∵

MA

AD

=

4a

2a

=

2

1

，
∴

MG

GC

=

MA

AD

，
∴AG∥DC．
∴

AG

DC

=

MA

MD

=

2

3

．

（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，
∴BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DFC，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG∥DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM=4，
由

AG

DC

=

MA

MD

得

AG

3

=

4

6

，
∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，
∴

AG

AD

=

DC

CF

，即

2

2

=

3

CF

，
∴CF=3
∴BF=1．
情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则

AB

BT

=

FC

CD

，由AD∥BC得

AD

FT

=

DG

GF

=

DM

CF

，
设BF=x，可得FT=

4-x

3

，
∴

3

x+ 4-x 3

=

4-x

3

，
整理得：2x²-4x+11=0，
∵△=16-88＜0，
∴无实数根；
∴BF=1．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）根据梯形的两底平行，延长CE和DA，运用平行线分线段成比例求出两线段的比．（2）根据对应线段的比相等，证明两线段互相平行．（3）根据两三角形相似，对应线段的比相等，求出线段BF的长．