题目内容

已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，3），且∠OAB的余切值为 $数学公式$ ．
（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；
（2）设该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，BC与直线l相交于点E．点P在直线l上，如果点D是△PBC的重心，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将（1）所求得的抛物线沿y轴向上或向下平移后顶点为点P，写出平移后抛物线的表达式．点M在平移后的抛物线上，且△MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，求点M的坐标．

解：（1）由点B（0，3），可知 OB=3．
∵在Rt△OAB中，tan∠OAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OA=1，
∴点A（-1，0）
∵由抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B，代入得：
$\text{[math]}$ ，
∴b=2，c=3，
∴所求抛物线的表达式为y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）该抛物线的对称轴是直线l为x=1，
∵由题意知：点B关于直线l的对称点为C，
∴点C的坐标为（2，3），且点E（1，3）为BC的中点，
∴DE=1，
∵点D是△PBC的重心，
∴PD=2DE=2，
即得：PE=3，
∵由点P在直线l上，
∴点P的坐标为（1，6）；

（3）∵P（1，6），D（1，4），
∴PD=2，可知将抛物线y=-x²+2x+3向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的表达式为y=-x²+2x+5，
设点M的坐标为（m，n）．
△MPD和△BPD边PD上高分别为|m-1|、1，
于是，由△MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，
得|m-1|=2．
解得：m₁=-1，m₂=3．
∵点M在抛物线y=-x²+2x+5上，
∴n₁=2，n₂=2，
∴点M的坐标分别为M₁（-1，2）、M₂（3，2）．
分析：（1）求出OB，根据已知得出tan∠OAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出OA，即可求出A的坐标，代入抛物线即可求出抛物线的表达式，化成顶点式即可求出D的坐标；
（2）求出C的坐标，求出E的坐标，得出DE，求出PD、PE，即可得出P的坐标；
（3）根据P、D的坐标得出抛物线向上平移两个单位即可得出新抛物线，设点M的坐标为（m，n）．求出△MPD和△BPD边PD上高分别为|m-1|、1，根据面积得出|m-1|=2，求出m，代入抛物线求出n即可．
点评：本题考查了平移性质，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，轴对称的性质等知识点的应用，本题综合性比较强，有一定的难度，主要培养了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．

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