Question

在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=2，BC=11，求：
（1）CD的长．
（2）四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：延长CB与DA的延长线相交于点E，构造了两个30°的直角三角形．
（1）首先在直角三角形ABE中求得BE的长，再进一步在直角三角形CDE中，求得CD的长；
（2）根据四边形的面积等于两个直角三角形的面积差求解．

解答：解：如图，延长CB与DA的延长线相交于点E．
（1）在Rt△ECD中，∵∠D=60°，
∴∠E=30°．
在Rt△ABE中，sin∠E=

AB

EB

，
∴EB=

2

sin30°

=4，
∴CE=EB+BC=4+11=15．
在Rt△DCE中，tan∠E=

CD

EC

，
∴CD=EC•tan∠E=15×

3

3

=5

3

；

（2）在Rt△ABE中，AB=2，EB=4，
∴AE=2

3

．
∴S△EAB=

1

2

AB•AE=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∵S_{四边形ABCD}=S_△ECD-S_△EAB，S△ECD=

1

2

CD•EC=

1

2

×5

3

×15=

75

2

3

，
∴S四边形ABCD=S△ECD-S△EAB=

71

2

3

．
（方法二：如图分割成一个矩形和两个直角三角形来解也可以，相对应地给分）

点评：此题要特别注意构造30°的直角三角形，熟练运用锐角三角函数求解．