Question

【题目】如图，矩形中，，，平分，交于点，，垂足为点，，垂足为点．则以下结论：①；②；③；④，⑤,其中正确的结论有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

过点F作FH⊥AC，由角平分线的性质得到HF=DF，延长CE与AD的延长线交于点M，

又AF平分∠CAD，AF⊥CE，由“三线合一”逆定理，得到AC=AM，CE=EM.再设HF=DF=x,由等积法得到，从而求出关键的DF的值.利用勾股定理得到AC=AH=, 有DM=，，所以CE=，而后找到图中常见的相识三角形并利用其性质逐一推理计算判断即可.

解：∵∠CEF=∠CEA=90°，∠CAE=∠EAD=∠FCE,

∴；

故① 对；

若成立，则易知∠BAC=∠EAC=∠FAD=30°,则在中BC=AB，而BC=2，AB=4，BC=AB，故假设不成立. ②不对；

过点F作FH⊥AC，∵AF平分∠CAD，AD⊥DF，∴HF=DF=x，则CF=4-x，

又∵ ,

∵，

∴

解得

∴, ∴，故④对；

又∵，

延长CE与AD的延长线交于点M，

∵AF平分∠CAD，AF⊥CE，

∴AC=AM=，CE=EM=,

∴DM=，又∵

∴

∴，故③对；

∵∠CGE=∠ADF=90°，∠ECG=∠DAF，

∴,

∴ ,

∴，

∴CG=DG=2,

又∵∠FEC=90°，GE⊥CF，

∴∽,

∴,

∴ ,又∵CG=DG，

∴ ∴⑤对；

综上有4个正确，

故选：D.