Question

如图，以△ACF的边AC为弦的圆交AF、CF于点B、E，连接BC，且满足AC²=CE•CF．求证：△ABC为等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：连接AE，根据AC²=CE•CF及∠ACE=∠FCA，可求出△ACE∽△FCA，再根据相似三角形的对应角相等及圆周角定理可求出弧AC=弧BC，AC=BC即可解答．
解答：证明：连接AE，
∵AC²=CE•CF，
∴，
又∵∠ACE=∠FCA．
∴△ACE∽△FCA，
∴∠AEC=∠FAC．
∵弧AC=弧BC，
∴AC=BC，
∴△ABC为等腰三角形．
点评：此题涉及到圆周角定理及相似三角形判定与性质，解答此题的关键是连接AE，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质及圆周角定理即可解答．