Question

如图，△ABC中，∠ABC=45゜，D为BC上一点，CD=2BD，∠ADC=60゜．AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．
（1）求证：△AFG≌△CFD；
（2）若BC=3，AF=

3

，求线段EG的长．

Answer 1

分析：（1）连接BF，根据三角形外角性质和等腰三角形的判定求出BD=DF，求出BF=AF=CF，求出∠FAG=∠FCD，根据ASA推出两三角形全等即可．
（2）求出BD、DC长，根据全等求出FG=DF=1，根据勾股定理求出CF，求出CG，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

解答：（1）证明：连接BF，
∵CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CFD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠FCD=30°，
∴CD=2DF，
∵CD=2BD，
∴BD=DF，
∴∠DBF=∠DFB，
∵∠ADC=∠DFB+∠FBD=60°，
∴∠DFB=∠DBF=30°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=45°-30°=15°，
∵∠ABF+∠BAF=∠BFD=30°，
∴∠FAB=15°，
即∠BAF=∠ABF，
∴BF=AF，
∵∠FBC=∠FCB=30°，
∴BF=CF，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠FAG=30°=∠DCF，
在△AFG和△CFD中

∠AFG=∠CFD AF=CF ∠FAG=∠FCD

∴△AFG≌△CFD．

（2）解：∵BC=3，CD=2BD，
∴BD=1，CD=2，
∵DF=BD，
∴DF=1，
∴在Rt△CFD中，由勾股定理得：CF=

22-12

=

3

，
∵△AFG≌△CFD，
∴DF=FG=1，
∴CG=

3

-1，
在Rt△CEG中，∠GEC=90°，∠GCE=30°，
∴EG=

1

2

CG=

3 -1

2

．

点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．