题目内容
（2013•东阳市模拟）许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称．经过测算，中间抛物线的解析式为
y=-
x2+10，并且BD=
CD．
（1）求钢梁最高点离桥面的高度OE的长；
（2）求桥上三条钢梁的总跨度AB的长；
（3）若拉杆DE∥拉杆BN，求右侧抛物线的解析式．
y=-
| 1 |
| 40 |
| 1 |
| 2 |
（1）求钢梁最高点离桥面的高度OE的长；
（2）求桥上三条钢梁的总跨度AB的长；
（3）若拉杆DE∥拉杆BN，求右侧抛物线的解析式．
分析：（1）将x=0代入抛物线的解析式就可以直接求出结论．
（2）当y=0时代入抛物线的解析式，求出其交点坐标就可以求出CD的长度，从而就可以BD、CD的值而得出结论．
（3）由（2）的结论可以求出点B、点D的坐标，作NF⊥x轴于点F，连结DE、BN，△NFB∽△EOD就可以求出NF的值而得出N的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．
（2）当y=0时代入抛物线的解析式，求出其交点坐标就可以求出CD的长度，从而就可以BD、CD的值而得出结论．
（3）由（2）的结论可以求出点B、点D的坐标，作NF⊥x轴于点F，连结DE、BN，△NFB∽△EOD就可以求出NF的值而得出N的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．
解答：解：（1）∵y=-
x2+10，
∴当x=0时，y=10，
∴钢梁最高点离桥面的高度OE的长10m；
（2）∵y=-
x2+10
∴当y=0时，0=-
x2+10，
∴x=±20，
∴C（-20，0），D（20，0），
∴DC=40，
∵BD=
CD，
∴BD=20，
∵左右两条抛物线关于y轴对称，
∴AC=BD=20，
∴AB=40+20+20=80m；
（3）作NF⊥x轴于点F，连结DE、BN
∴∠NFB=∠EOD=90°，DF=BF=10，
∵DE∥BN，
∴∠2=∠1，
∴△NFB∽△EOD，
∴
=
，
∴
=
，
∴NF=5．
∴N（30，5）．
设抛物线的解析式为y=a（x-30）2+5，由题意，得
0=a（20-30）2+5，
a=-
∴y=-
(x-30)2+5．
| 1 |
| 40 |
∴当x=0时，y=10，
∴钢梁最高点离桥面的高度OE的长10m；
（2）∵y=-
| 1 |
| 40 |
∴当y=0时，0=-
| 1 |
| 40 |
∴x=±20，
∴C（-20，0），D（20，0），
∴DC=40，
∵BD=
| 1 |
| 2 |
∴BD=20，
∵左右两条抛物线关于y轴对称，
∴AC=BD=20，
∴AB=40+20+20=80m；
（3）作NF⊥x轴于点F，连结DE、BN
∴∠NFB=∠EOD=90°，DF=BF=10，
∵DE∥BN，
∴∠2=∠1，
∴△NFB∽△EOD，
∴
| BO |
| OD |
| NF |
| OE |
∴
| 10 |
| 20 |
| NF |
| 10 |
∴NF=5．
∴N（30，5）．
设抛物线的解析式为y=a（x-30）2+5，由题意，得
0=a（20-30）2+5，
a=-
| 1 |
| 20 |
∴y=-
| 1 |
| 20 |
点评：本题考查了待定系数法求抛物线的解析式的运用，轴对称的运用，平行线的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，抛物线的顶点式的运用，解答时求出抛物线与x轴的交点坐标是关键．
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