Question

（2013•东阳市模拟）如图，C、D、B的坐标分别为（1，0）（9，0）（10，0），点P（t，0）是CD上一个动点，在x轴上方作等边△OPE和△BPF，连EF，G为EF的中点．
（1）当t=

5

时，EF∥OB；
（2）双曲线y=

k

x

过点G，当PG=

79

2

时，则k=

10

3

或15

3

．

Answer 1

分析：（1）作EM⊥OB于M点，FN⊥OB于N点，根据等边三角形的性质得EM=

3

2

OP，FN=

3

2

PB，所以EM=FN时，EF∥OB，则

3

2

t=

3

2

（10-t），然后即方程即可得到t的值；
（2）作GH⊥OB于H点，则GH为梯形EMNF的中位线，根据梯形中位线的性质得GH=

1

2

（EM+FN）=

5 3

2

，HM=

1

2

MN=

1

2

（ON-OM）=

5

2

，得到PH=

5

2

-

1

2

t或

1

2

t-

5

2

，
再利用勾股定理得PG²=GH²+PH²，即（

5 3

2

）²+（

5-t

2

）²=（

79

2

）²，解得t₁=3，t₂=7，然后分别确定G点坐标，再代入反比例函数解析式可得到k的值．，

解答：解：（1）作EM⊥OB于M点，FN⊥OB于N点，如图，
∵△OPE和△BPF都是等边三角形，
∴EM=

3

2

OP，FN=

3

2

PB，
当EM=FN时，EF∥OB，
∵P（t，0），B（10，0），
∴PO=t，PB=10-t
∴

3

2

t=

3

2

（10-t），
∴t=5；

（2）作GH⊥OB于H点，如图，
∵G为EF的中点，
∴GH为梯形EMNF的中位线，
∴GH=

1

2

（EM+FN）=

1

2

[

3

2

t+

3

2

（10-t）]=

5 3

2

，HM=

1

2

MN=

1

2

（ON-OM）=

1

2

[t+

1

2

（10-t）-

1

2

t]=

5

2

，
∴PH=

5

2

-

1

2

t或

1

2

t-

5

2

，
在Rt△PGH中，PG²=GH²+PH²，
∴（

5 3

2

）²+（

5-t

2

）²=（

79

2

）²，
∴t₁=3，t₂=7，
当t=3时，OH=

5

2

+

1

2

t=4，
∴G点坐标为（4，

5 3

2

），
把G（4，

5 3

2

）代入y=

k

x

得k=4×

5 3

2

=10

3

；
当t=7时，OH=

5

2

+

t

2

=6，
∴G点坐标为（6，

5 3

2

），
把G（6，

5 3

2

）代入y=

k

x

得k=6×

5 3

2

=15

3

；
∴k的值为10

3

或15

3

．
故答案为5；10

3

或15

3

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的坐标满足其函数解析式，运用待定系数法求函数的解析式；掌握等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系和勾股定理．