Question

等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．

⑴ 当△ABC的边(BC边除外)与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？

⑵ 若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？

⑶ 在⑵的条件下，是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

⑴假设第一次相切时，△ABC移至△A^’B^’C^’处，A^’C^’与⊙O切于点E，连OE并延长，

交B^’C^’于F．设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A^’C^’，OD⊥直线l．

由切线长定理可知C^’E= C^’D，设C^’D=x，则C^’E= x，易知C^’F=x

∴x＋x=1   ∴x=－1  ∴CC^’=5－1－(－1)=5－

∴点C运动的时间为

∴点B运动的的距离为

⑵∵△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，路程差为6，速度差为1

∴从开始运动到最后一次相切的时间为6秒…

⑶∵△ABC与⊙O从开始运动到第二次相切时，路程差为4，速度差为1

∴从开始运动到第二次相切的时间为4秒， 此时△ABC移至△A^”B^”C^”处，

A^”B^”=1＋4×=3

连接B^”O并延长交A^”C^”于点P，易证B^”P⊥A^”C^”，且OP=＜1

∴此时⊙O与A^”C^”相交

∴不存在．