Question

给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：
①直线y=0是抛物线y=x²的切线；
②直线x=-2与抛物线y=x² 相切于点（-2，1）；
③直线y=x+b与抛物线y=x²相切，则相切于点（2，1）；
④若直线y=kx-2与抛物线y=x²相切，则实数k=．
其中正确命题的是（ ）
A．①②④
B．①③
C．②③
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：根据二次函数的性质与根的判别式对各小题进行逐一分析即可．
解答：解：①∵直线y=0是x轴，抛物线y=x²的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y=x²的切线，故本小题正确；
②∵抛物线y=x²的顶点在x轴上，开口向上，直线x=-2与y轴平行，∴直线x=-2与抛物线y=x² 相交，故本小题错误；
③∵直线y=x+b与抛物线y=x²相切，∴x²-x-b=0，∴△=（-1）²-4×b=1+b=0，解得b=-1．把b=-1代入x²-x-b=0得x=2，把x=2代入抛物线解析式可知y=1，∴直线y=x+b与抛物线y=x²相切，则相切于点（2，1），故本小题正确；
④∵直线y=kx-2与抛物线y=x² 相切，∴x²=kx-2，即x²-kx+2=0，△=k²-2=0，解得k=±，故本小题错误．
故选B．
点评：本题考查的是二次函数的性质及根的判别式，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．