Question

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分两种情况考虑：当∠AQP=∠ACB时，由∠A=∠A，得到△APQ∽△ABC，由相似得比例，将各自的式子代入求出t的值；当∠AQP=∠B时，由∠A=∠A，得到△APQ∽△ACB，同理求出此时t的值；
（2）如图所示，过P点作PD⊥AC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到三角形AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

解答：解：（1）∵当∠AQP=∠ACB时，由∠A=∠A，得到△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
∵BP=2tcm，AB=10cm，
∴AP=（10-2t）cm，
又∵AQ=2tcm，AC=8cm，
∴

2t

8

=

10-2t

10

，
解得：t=

20

9

s；
当∠AQP=∠B时，由∠A=∠A，得到△APQ∽△ACB，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，即

2t

10

=

10-2t

8

，
解得：t=

25

9

s，
则当t=

20

9

s或t=

25

9

s时，△APQ与△ABC相似；

（2）不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，理由为：
如图所示，过P点作PH⊥AC于点H．
则PH∥BC，
则

AP

AB

=

PH

BC

，
即

10-2t

10

=

PH

6

，
解得：PH=（6-

6

5

t）cm，
∴S_△AQP=

1

2

×AQ×PH=

1

2

×2t×（6-

6

5

t）=-

6

5

t²+6t（cm²），
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S_△AQP=

1

2

S_△ABC，而S_△ABC=

1

2

AC•BC=24（cm²），
则此时S_△AQP=12（cm²），
-

6

5

t²+6t=12，化简得：t²-5t+10=0，
因为△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，此方程无实数根，
则不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，平行线的性质，不解方程判断方程解的情况，是一道动点型探究题．