题目内容

如图1，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．

(1)求证：△BMD为等腰直角三角形．

(2)将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2，(1)中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．

(3)将△ADE绕点A逆时针旋转135°，如图3，(1)中的“△BMD为等腰直角三角形”成立吗？(不用说明理由)．

(4)我们是否可以猜想，将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图4，(1)中的“△BMD为等腰直角三角形”均成立？(不用说明理由)．

答案：
解析：

　　(1)证明：

　　∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，

　　∴BM＝EC＝MC，

　　∴∠MBC＝∠MCB．

　　∴∠BME＝2∠BCM．

　　同理可证：DM＝EC＝MC，

　　∠EMD＝2∠MCD．　　1分

　　∴∠BMD＝2∠BCA＝90°，

　　∴BM＝DM．

　　∴△BMD是等腰直角三角形．　　2分

　　(2)(1)中的结论仍然成立．　　3分

　　延长DM与BC交于点N

　　∵DE⊥AB

　　CB⊥AB，

　　∴∠EDB＝∠CBD＝90°

　　∴DE∥BC．

　　∴∠DEM＝∠MCN．

　　又∵∠EMD＝∠NMC，

　　EM＝MC

　　∴△EDM≌△MNC．　　4分

　　∴DM＝MN．

　　DE＝NC＝AD．

　　又AB＝BC，

　　∴AB－AD＝BC－CN

　　∴BD＝BN．

　　∴BM⊥DM．

　　即∠BMD＝90°．

　　∵∠ABC＝90°，

　　∴BM＝DN＝DM．

　　∴△BMD是等腰直角三角形．　　5分

　　(3)(1)中的结论成立．　　6分

　　(4)(1)中的结论成立．　　7分


练习册系列答案
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28、（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．
①求证：△ABP≌△ACQ；
②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．
（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF′G′的位置，点M是边EF′与边FG的交点，点N在边EG′上且EN=EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．
如图1，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．
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（2011•下关区一模）（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．
①求证：△ABP≌△ACQ；
②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．
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（2011•资阳）在一次机器人测试中，要求机器人从A出发到达B处．如图1，已知点A在O的正西方600cm处，B在O的正北方300cm处，且机器人在射线AO及其右侧（AO下方）区域的速度为20cm/秒，在射线AO的左侧（AO上方）区域的速度为10cm/秒．
（1）分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间（精确到秒）；
（2）若∠OCB=45°，求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间（精确到秒）；
（3）如图2，作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E，交OA于P．试说明：从A出发到达B处，机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短．
（参考数据：
2
≈1.414，
3
≈1.732，
5
≈2.236，
6
≈2.449）
如图1，已知点D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为BC的中点
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．
（3）将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”是否均成立？说明理由．

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