Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t（0＜t≤4）．
（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（2）△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）此题由3种情况，①从假设△BPQ是等腰三角形入手．求证△BMP∽△BCD，利用对应边成比例即可求得t的值．
②在Rt△BMP中，利用cos∠DBC=

BM

BP

=

BC

BD

=

4

5

，解得t．
③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线，垂足为N．利用Rt△BNQ∽Rt△BCD其对应边成比例即可求得t．
（2）若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．由②，知当BQ=BP时，t=

5

2

．由①，知当BP=PQ时，t=

40

13

．而BQ=BP与BP=PQ不能同时成

解答：解：
（1）若△BPQ是等腰三角形．
①如图，当PB=PQ时，自点P向BC引垂线，
垂足为M，则有BM=MQ．
方法一：
由△BMP∽△BCD，得

BM

BC

=

BP

BD

，
∴BM=

BP•BC

BD

=

(5-t)•4

5

=

20-4t

5

．
∴

20-4t

5

=

t

2

，解得t=

40

13

．
方法二：
在Rt△BMP中，
BP=5-t，BM=

t

2

，cos∠DBC=

BM

BP

=

BC

BD

=

4

5

．
∴

t 2

5-t

=

4

5

，解得t=

40

13

．
②当BQ=BP时，有t=5-t，解得t=

5

2

．
③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线，垂足为N．
由Rt△BNQ∽Rt△BCD，得

BN

BC

=

BQ

BD

．
∴

5-t 2

4

=

t

5

，解得t=

25

13

．

（2）不能．
若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．
由（2）②，知当BQ=BP时，t=

5

2

．
由（2）①，知当BP=PQ时，t=

40

13

．
∴BQ=BP与BP=PQ不能同时成立，
∴△PBQ不可能为等边三角形．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，是一道难题．