Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ACE的度数；
（3）求证：四边形ABFE是菱形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,菱形的判定,旋转的性质

专题：证明题

分析：（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．
（2）根据全等三角形对应角相等，得出∠ACE=∠ABD，即可求得．
（3）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．

解答：（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠CAE=100°，
又∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD与△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

（2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE，
∴∠ACE=

1

2

（180°-∠CAE）=

1

2

（180°-100°）=40°；

（3）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°-∠BAE-∠ABD-∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、旋转的性质以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．