Question

【题目】如图，以的边为直径画，交于点，半径，连接，，，设交于点，若．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线的判定定理即可得出结论；

（2）连接OD，分别求出三角形DOB面积和扇形DOB面积，即可求出答案．

（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°．

∵∠A=∠DEB，∠DEB=∠DBC，∴∠A=∠DBC．

∴∠DBC+∠ABD=90°，∴BC是⊙O的切线；

（2）连接OD．

∵BF=BC=2，且∠ADB=90°，∴∠CBD=∠FBD．

∵OE∥BD，∴∠FBD=∠OEB．

∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∴∠CBD=∠OEB=∠OBE=∠ABC=90°=30°，∴∠C=60°，∴AB=BC=2，∴⊙O的半径为，∴阴影部分的面积=扇形DOB的面积﹣三角形DOB的面积=．