Question

【题目】四边形是正方形，与相交于点，点、是直线上两动点，且，所在直线与对角线所在直线交于点，连接，直线交于点．

（1）如图1，当点、在线段上时，

①求证：；

②猜想与的位置关系，并加以证明；

（2）如图2，在（1）条件下，连接，试说明平分；

（3）当点、运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出的度数．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)图见解析；45°.

【解析】

试题分析：(1)①根据正方形的性质可证DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°根据SAS可证△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质可证∠DAG=∠DCG；

②根据正方形的性质可证AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据SAS可证△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质可证∠ABE=∠DCF，根据∠DAG+∠BAG=90°可证∠AHB=∠ABE+∠BAG=90°，所以可证AG⊥BE；

(2) 过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形，根据矩形的性质可得：∠AON=∠BOM，∠OAN=∠OBM，根据ASA可证△AON≌△BOM，根据全等三角形的性质可证OM=ON，所以可证矩形OMHN为正方形，根据正方形的性质可证HO平分∠BHG；

(3)图见解析；根据正方形的性质可证AG⊥BE，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则可证△AON≌△BOM，根据全等三角形的性质可证OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，所以可证∠BHO=45°.

试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，

∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADG和△CDG中

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCG；

②AG⊥BE．理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，

在△ABE和△DCF中

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

∵∠DAG=∠DCG，

∴∠DAG=∠BAE，

∵∠DAG+∠BAG=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE；

（2）由（1）可知AG⊥BE．

如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．

∴∠MON=90°，又∵OA⊥OB，

∴∠AON=∠BOM．

∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，

∴∠OAN=∠OBM．

在△AON与△BOM中，

∴△AON≌△BOM（ASA）．

∴OM=ON，

∴矩形OMHN为正方形，

∴HO平分∠BHG；

（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．

与（1）同理，可以证明AG⊥BE．

过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，

与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM，

可得OMHN为正方形，

∴HO平分∠BHG，

∴∠BHO=45°．