Question

【题目】已知：在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是某函数图象上任意两点（x1＜x2），将函数图象中x＜x1的部分沿直线y＝y1作轴对称，x＞x2的部分沿直线y＝y2作轴对称，与原函数图象中x1≤x≤x2的部分组成了一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于点A、B的“双对称函数”．例如：如图①，点A（﹣2，﹣1）、B（1，2）是一次函数y＝x+1图象上的两个点，则函数y＝x+1关于点A、B的“双对称函数”的图象如图②所示．

（1）点A（t，y1）、B（t+3，y2）是函数y＝图象上的两点，y＝关于点A、B的“双对称函数”的图象记作G，若G是中心对称图形，直接写出t的值．

（2）点P（，y1），Q（+t，y2）是二次函数y＝（x﹣t）2+2t图象上的两点，该二次函数关于点P、Q的“双对称函数”记作f．

①求P、Q两点的坐标（用含t的代数式表示）．

②当t＝﹣2时，求出函数f的解析式；

③若﹣1≤x≤1时，函数f的最小值为ymin，求﹣2≤ymin≤﹣1时，t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）t＝；（2）①P（，t2+t+），Q（+t，2t+）；②y＝；③﹣≤t≤或≤t≤

【解析】

（1）根据定义、反比例函数图象性质和中心对称性质即可求出t；
（2）①直接代入计算即可；②新函数是分段函数，自变量x的范围分为x＜或≤x≤或x＞，二次函数图象翻折后开口方向与原来相反，顶点与原来顶点关于对称轴对称，可以先求新顶点；③分t≤-1，-1＜t＜0，t≥0进行讨论．

解：（1）如图1，

设点A（t，），A′（t+3，），

∵G是中心对称图形，由反比例函数图象的中心对称性质可知：A与A′关于原点成中心对称，

∴t+t+3＝0，解得：t＝；

（2）①y1＝+2t＝t2+t+，y2＝+2t＝2t+

∴P（，t2+t+），Q（+t，2t+），

②当t＝﹣2时，y＝（x+2）2﹣4，P（，），Q（，），根据“双对称函数”定义可知：

新图象f由x＜时抛物线y＝（x+2）2﹣4沿直线y＝翻折所得图象、x＞时抛物线y＝（x+2）2﹣4沿直线y＝翻折所得图象及≤x≤时抛物线y＝（x+2）2﹣4三个部分组成，

∴当t＝﹣2时，函数f的解析式为：y＝

③∵当﹣1≤x≤1时，函数f的最小值为ymin，且﹣2≤ymin≤﹣1，

若t＜0，该二次函数关于点P、Q的“双对称函数”为：y＝，

当t≤﹣1时，点Q始终是“双对称函数”在﹣1≤x≤1的最低点，由﹣2≤2t+≤﹣1，∴≤t≤，故≤t≤﹣1

当﹣1＜t＜0时，将x＝﹣1代入得y＝﹣（﹣1﹣t）2+2t+＝﹣t2，由﹣2≤﹣t2≤﹣1，解得：≤t≤，∴﹣1≤t≤

当t≥0时，由﹣2≤﹣（﹣1﹣t）2+2t2+≤﹣1，可解得：≤t≤，

综上所述，t的取值范围为：﹣≤t≤或≤t≤，