Question

如图，已知直线l的函数表达式为y=

3

4

x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）设F是x轴上一动点，⊙P经过点B且与x轴相切于点F设⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y与x的函数关系式；
（3）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线l相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据坐标轴上点的坐标特征易得以A点坐标为（-4，0），B点坐标为（0，3）；
（2）过点P作PD⊥y轴于D，则PD=|x|，BD=|3-y|，根据切线的性质得PF=y，则PB=y，在Rt△BDP中，根据勾股定理得到y²=x²+（3-y）²，然后整理得到y=

1

6

x²+

3

2

；
（3）由于⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B，根据切线长定理得到AB=AF，而AB=5，所以AF=|x+4|=5，解得x=1或x=-9，再把x=1和x=-9分别代入y=

1

6

x²+

3

2

计算出对应的函数值，即可确定P点坐标．

解答：解：（1）当x=0时，y=

3

4

x+3=3；
当y=0时，

3

4

x+3=0，解得x=-4，
所以A点坐标为（-4，0），B点坐标为（0，3）；

（2）过点P作PD⊥y轴于D，如图1，则PD=|x|，BD=|3-y|，
∵⊙P经过点B且与x轴相切于点F
∴PB=PF=y，
在Rt△BDP中，
∴PB²=PD²+BD²，
∴y²=x²+（3-y）²，
∴y=

1

6

x²+

3

2

；

（3）存在．
∵⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B，
∴AB=AF
∵AB²=OA²+OB²=5²，
∴AF=5，
∵AF=|x+4|，
∴|x+4|=5，
∴x=1或x=-9，
当x=1时，y=

1

6

x²+

3

2

=

1

6

+

3

2

=

5

3

；
当x=-9时，y=

1

6

x²+

3

2

=

1

6

×（-9）²+

3

2

=15，
∴点P的坐标为（1，

5

3

）或（-9，15）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质和切线长定理、一次函数的性质；会利用坐标表示线段和运用勾股定理进行几何计算．