Question

1．如图，点E为AC的中点，点D为△ABC外一点，且满足射线BD为∠ABC的平分线，∠ABC+∠ADC=180°，请判断DE和AC的位置关系，并证明．

Answer 1

分析 根据∠ABC+∠ADC=180°，所以A，B，C，D四点共圆，得到∠ABD=∠ACD，∠DBC=∠DAC，由射线BD为∠ABC的平分线，得到∠ABD=∠CBD，从而得到∠DAC=∠DCA，即△ADC为等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一，即可解答．

解答 解：∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠BCD=180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ABD=∠ACD，∠DBC=∠DAC，
∵射线BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴△ADC为等腰三角形，
∵点E为AC的中点，
∴DE⊥AC（三线合一）．

点评 本题考查了四点共圆、等腰三角形的性质，解决本题的关键是证明△ADC为等腰三角形．