Question

【题目】如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．

（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： ；

（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），

①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE=CD；（2）①成立；②存在，45°或225°．

【解析】

试题分析：（1）由△ABC和△AED都是等腰直角三角形，得到AB=AC，AE=AD，即可得到BE=CD；

（2）①由△ABC和△AED都是等腰直角三角形，得到AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，得到△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可得到结论；

②由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=45°，再由等腰直角三角形的性质即可得到结论．

试题解析：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE﹣AB=AD﹣AC，∴BE=CD；

（2）①成立，理由如下：

∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；

②存在，α=45°．∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=ED，∴∠CAD=45°，或360°﹣90°﹣45°=225°，∴角α的度数是45°或225°．