Question

如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE．

  （1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；

  （2）求证：BE=EC；

  （3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB=1，∠ABC=a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）．

Answer 1

解：（1）∠DCA=∠BDE．

证明：∵AB=AC，DC=DE，

∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．

∴∠BDE=∠DEC﹣∠DBC=∠DCE﹣∠ACB=∠DCA．

（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，

则有∠DAC=∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

∴△DCA≌△EDG（AAS）．

∴DA=EG，CA=DG．

∴DG=AB．

∴DA=BG．

∵AF∥EG，DF=EF，

∴DA=AG．

∴AG=BG．

∵EG∥AC，

∴BE=EC．

（3）过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2，

∵AB=AC，DC=DE，

∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．

∴∠BDE=∠DBC﹣∠DEC=∠ACB﹣∠DCE=∠DCA．

∵AC∥EG，

∴∠DAC=∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

∴△DCA≌△EDG（AAS）．

∴DA=EG，CA=DG

∴DG=AB=1．

∵AF∥EG，

∴△ADF∽△GDE．

∴．

∵DF=kFE，

∴DE=EF﹣DF=（1﹣k）EF．

∴．

∴AD=．

∴GE=AD=．

过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH．

∴BC=2BH．

∵AB=1，∠ABC=α，

∴BH=AB•cos∠ABH=cosα．

∴BC=2cosα．

∵AC∥EG，

∴△ABC∽△GBE．

∴．

∴．

∴BE=．

∴BE的长为．