Question

【题目】在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过点，与轴交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点.

（1）求抛物线的表达式及点的坐标；

（2）点是轴正半轴上的一点，如果，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，点是位于轴左侧抛物线上的一点，如果是以为直角边的直角三角形，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）或

【解析】

（1）将点A、B 代入抛物线，即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可；
（2）如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N（-，-2），利用相等角的正切值相等即可求出EH的长，OE的长，可写出点E的坐标；
（3）分∠EAP=90°和∠AEP=90°两种情况讨论，通过相似的性质，用含t的代数式表示出点P的坐标，可分别求出点P的坐标．

解：（1）（1）将点A（-3，-2）、B （0，-2）代入抛物线，
得，，
解得，a=，c=-2，
∴y=x2+4x-2
=（x+）2-5，
∴抛物线解析式为y=x2+4x-2，顶点C的坐标为（-，-5）；

（2）如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N（-，-2），

，则，

过作，，

则，

∵OH=3,

∴OE=1,

∴

（3）①如图2，当∠EAP=90°时，
∵∠HEA+∠HAE=90，∠HAE+∠MAP=90°，

∴∠HEA=∠MAP，
又∠AHE=∠PMA=90°，

，

则，设，则

将代入

得（舍），，

∴

②如图3，当∠AEP=90°时，

∵∠EAG+∠AEG=90°，∠AEG+∠PEN=90°，

∴∠AEG=∠EPN，
又∵∠N=∠G=90°，

∴，则

设，则

将代入

得，（舍），

∴

综上所述：，