题目内容
（2007•沈阳）已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=
，O为BC上一点，BO=
，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）
【答案】分析：（1）OM的长是1，小于矩形的宽，也小于OB的长，所以点P只能是OM的垂直平分线与AD的交点；
（2）OM的长是4，等于矩形的宽，所以点P可以是过O、M的垂线与AD的交点，也可以是OM的垂直平分线与AD的交点，又OM的长大于OB的长，所以点P也可以在AB上；
（3）OM的长是5，大于矩形的宽，所以点P可以在过O、M的垂线与AD的交点的两侧各一个，也可以是OM的垂直平分线与AD的交点，又OM的长大于OB的长也大于MC的长，所以点P也可以在AB和CD上，共有7个．
解答：解：（1）符合条件的等腰△OMP只有1个；
点P的坐标为（
，4）；
（2）符合条件的等腰△OMP有4个．
如图②，在△OP1M中，OP1=OM=4，
在Rt△OBP1中，BO=
，
BP1=
=
=
，
∴P1（-
，
）；（5分）
在Rt△OMP2中，OP2=OM=4，
∴P2（0，4）；
在△OMP3中，MP3=OP3，
∴点P3在OM的垂直平分线上，
∵OM=4，
∴P3（2，4）；
在Rt△OMP4中，OM=MP4=4，
∴P4（4，4）；
（3）若M（5，0），则符合条件的等腰三角形有7个．
点P的位置如图③所示．
点评：根据OM的长与矩形的宽的大小确定点P的位置主要在AD边上的情况，需要注意的是当OM的长大于OB（或MC）时，点P也可以在AB（或CD）上的情况，学生容易忽视．
（2）OM的长是4，等于矩形的宽，所以点P可以是过O、M的垂线与AD的交点，也可以是OM的垂直平分线与AD的交点，又OM的长大于OB的长，所以点P也可以在AB上；
（3）OM的长是5，大于矩形的宽，所以点P可以在过O、M的垂线与AD的交点的两侧各一个，也可以是OM的垂直平分线与AD的交点，又OM的长大于OB的长也大于MC的长，所以点P也可以在AB和CD上，共有7个．
解答：解：（1）符合条件的等腰△OMP只有1个；
点P的坐标为（
，4）；（2）符合条件的等腰△OMP有4个．
如图②，在△OP1M中，OP1=OM=4，
在Rt△OBP1中，BO=
，BP1=
==，∴P1（-
，）；（5分）在Rt△OMP2中，OP2=OM=4，
∴P2（0，4）；
在△OMP3中，MP3=OP3，
∴点P3在OM的垂直平分线上，
∵OM=4，
∴P3（2，4）；
在Rt△OMP4中，OM=MP4=4，
∴P4（4，4）；
（3）若M（5，0），则符合条件的等腰三角形有7个．
点P的位置如图③所示．
点评：根据OM的长与矩形的宽的大小确定点P的位置主要在AD边上的情况，需要注意的是当OM的长大于OB（或MC）时，点P也可以在AB（或CD）上的情况，学生容易忽视．
练习册系列答案
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，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．
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