Question

【题目】如图1，已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．

（1）求线段DE的长度；

（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；

（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)2 ;(2) ;(3)见解析.

【解析】分析：（1）根据解析式求得C的坐标，进而求得D的坐标，即可求得DH的长度，令y=0，求得A，B的坐标，然后证得△ACO∽△EAH，根据对应边成比例求得EH的长，进继而求得DE的长；

（2）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（-2，-），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根据点的坐标求得直线GN的解析式：y=x-；直线AE的解析式：y= -x-，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，-m+m+），则Q（m，m-），根据S△MFP=S△MQF+S△MQP，得出S△MFP= -m+m+，根据解析式即可求得，△MPF面积的最大值；

（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），求得CF=，CP=，进而得出△CFP为等边三角形，边长为，翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，然后分三种情况讨论求得即可．

本题解析：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+，

令x=0，得y=，即C（0，），D（2，），

∴DH=，

令y=0，即﹣x2+x+=0，得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵AE⊥AC，EH⊥AH，

∴△ACO∽△EAH，

∴=，即=，

解得：EH=，

则DE=2；

（2）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），

连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，

直线GN的解析式：y=x﹣；直线AE的解析式：y=﹣x﹣，

联立得：F （0，﹣），P（2，），

过点M作y轴的平行线交FH于点Q，

设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m， m﹣），（0＜m＜2）；

∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+，

∵对称轴为：直线m=＜2，开口向下，

∴m=时，△MPF面积有最大值： ；

（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），

∴CF=，CP==，

∵OC=，OA=1，

∴∠OCA=30°，

∵FC=FG，

∴∠OCA=∠FGA=30°，

∴∠CFP=60°，

∴△CFP为等边三角形，边长为，

翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，

1）当K F′=KF″时，如图3，

点K在F′F″的垂直平分线上，所以K与B重合，坐标为（3，0），

∴OK=3；

2）当F′F″=F′K时，如图4，

∴F′F″=F′K=4，

∵FP的解析式为：y=x﹣，

∴在平移过程中，F′K与x轴的夹角为30°，

∵∠OAF=30°，

∴F′K=F′A

∴AK=4

∴OK=4﹣1或者4+1；

3）当F″F′=F″K时，如图5，

∵在平移过程中，F″F′始终与x轴夹角为60°，

∵∠OAF=30°，

∴∠AF′F″=90°，

∵F″F′=F″K=4，

∴AF″=8，

∴AK=12，

∴OK=11，

综上所述：OK=3，4﹣1，4+1或者11．