Question

如图：已知抛物线y=x-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O为坐标原点。
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）已知矩形DEFG的一条边DE在AB上，顶点F，G分别在BC，AC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接对角线DF并延长至点M，使FM=DF，试探究此时点M是否在抛物线上，请说明理由。

Answer 1

解：（1）A（2，0），B（-8，0），C（0，-4）；
（2）由△ADG∽△AOC，可得，
∴DG=2（2-m），
由△BEF∽△BOC，得，
又
∴
∴DE=5m，
∴S=DG×DE=2（2-m）?5m=20m-10m²，
∴S与m的函数关系式为S=-10m²+20m，且0＜m＜2；
（3）由S=-10m²+20m可知m=1时，S有最大值10，此时D（1，0），DE=5，EF=2，
过点M作MN⊥AB，垂足为N，则有MN∥FE，
∴，
又有，得DN=7，MN=，
∴N（-6，0），M（-6，-），
在二次函数y=x-4中，当x=-6时，y=-4≠-，
∴点M不在抛物线上。